Esercizio:
Due triangoli con stessa area e stesso perimetro sono congruenti?
Risp: sono congruenti se e solo se hanno almeno un lato congruente.
Dim:
1) se hanno tre o due lati congruenti i due triangoli sono obviously congruenti;
2) se non hanno alcun lato congruente sono obviously non congruenti;
(in tal caso per costruirne due non congruenti vedi l'allegato)
3) se hanno un solo lato congruente, i due triangoli sono congruenti;
difatti, detti S e 2p area e perimetro, se a è la lunghezza di tale lato, necessariamente
il luogo dei vertici opposti ad esso è l'ellisse di fuochi gli estremi del lato e costante 2p-a;
fisso l'altezza del triangolo relativa a detto lato tramite due rette
parallele alla retta dei fuochi e simmetriche rispetto ad essa,
e tali che intersecano l'ellisse;
individuo così 4 punti, corrispondenti a 4 triangoli isoperimetrici,
di base a e altezza h=2S/a, cioè di stessa area S,
i quali, per ragioni di simmetria, sono tra loro congruenti;
N.B. S e p sono legati dalla relazione: 0<=S<=(a/2)sqr((p-a)^2-(a/2)^2),
e questo giustifica perché le due rette di sopra devono intersecare l'ellisse.
