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INTEGRALI DEFINITI cap.30

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Formulario INTEGRALI_DEFINITI (pdf)

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Parte 1: CALCOLO di AREE:

premessa

L’introduzione del calcolo degli integrali definiti nasce dalla necessità di determinare le aree di FIGURE PIANE aventi contorno curvilineo chiuso.

Mentre per i POLIGONI il calcolo dell’area è più semplice e riconducibile alla somma algebrica di aree note di figure più semplici come triangoli

(di cui una originale risoluzione di tali problemi si ha nel teorema di Pick (dimostrazione) ideato del poco noto matematico austriaco Georg Pick)
il teorema di Pick

il teorema di PICK

per le figure il cui contorno è una curva qualsiasi il problema è più complesso. Il primo esempio è quello dell'area del CERCHIO, determinata da Archimede di Siracusa mediante il "metodo di esaustione". Se si considerano due successioni di poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti al cerchio, si può dimostrare che l’area del cerchio coincide con il limite comune delle due successioni costituite rispettivamente dalle aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio,
segue una risoluzione "moderna" dello stesso problema:

Area cerchio come limite area poligono regolare inscritto (GeoGebra)

(cfr. quesito 7 esame di stato 2015 link pdf)

Analogamente Archimede trova l'area del SETTORE PARABOLICO:

Area settore parabolico come limite area poligono inscritto (GeoGebra)

calcolo di aree con gli INTEGRALI

lavoro di una isoterma: https://www.geogebra.org/m/FB89pmC7 (GeoGebra)

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area di un trapezioide: https://www.geogebra.org/m/ZTp4s2BB (GeoGebra)

alcune proprietà dell'integrale definito: https://www.geogebra.org/m/bkAHjAg6 (GeoGebra)

SFIDA

esempi di integrali definiti calcolabili senza trovare una primitiva:

TEOREMI

teorema del valor medio: https://www.geogebra.org/m/dxv36k9y (GeoGebra)

teorema fondamentale del calcolo integrale: https://www.geogebra.org/m/n9fmndbk (GeoGebra)

Parte 2: CALCOLO di VOLUMI:

volume di un solido di rotazione: https://www.geogebra.org/m/hhRJQyz9 (GeoGebra)

Rotazione di una funzione attorno all'asse x (GeoGebra)

Rotazione di una funzione attorno all'asse y (GeoGebra)

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metodo dei gusci cilindrici 1: https://www.geogebra.org/m/mz9pj8Q2 (GeoGebra)

metodo dei gusci cilindrici 2: https://www.geogebra.org/m/BA2nJZkZ (GeoGebra)

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un esercizio sul metodo delle sezioni: https://www.geogebra.org/m/wBNyRKPu (GeoGebra)

Parte 3: INTEGRALI IMPROPRI:

1. Integrale di una funzione con un numero finito di punti di discontinuità in [a; b] (GeoGebra)

2. Integrale di una funzione in un intervallo illimitato (GeoGebra)

un esempio di integrale improprio: es.n.490 pag.2002 (pdf)

... 

per preparare la verifica

Simulazione di verifica sugli integrali definiti (pdf) - soluzioni (pdf)

Simulazione di verifica 2 sugli integrali definiti (pdf) - soluzioni (pdf)

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